A média aritmética ponderada, conhecida também por média ponderada, é a média que leva em consideração o peso atribuído a cada um dos valores dos quais queremos calcular a média. Quanto maior o peso de determinado valor, maior será o impacto dele na média, tornando esses valores mais relevantes. 64z
A média ponderada é aplicada, por exemplo, em situações que envolvem notas, ou quando há acúmulos de frequência para determinados valores. Além da média aritmética ponderada, existe a média aritmética simples, a diferença é que na segunda não são atribuídos pesos.
Para calcular a média ponderada de um conjunto de valores, calculamos o produto de cada valor pelo seu peso, somamos os produtos encontrados, e dividimos a soma pela soma dos pesos.
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A média ponderada é conhecida também como média aritmética simples ponderada.
A média é ponderada quando se atribui peso a cada um dos valores.
O peso faz com que alguns valores tenham mais impactos no cálculo da média.
A fórmula para calcular a média entre os valores \(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n\) com pesos \(p_1,p_2,p_3,\ldots,p_n\) , respectivamente, é:
\(x=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+x_3\cdot p_3+\ldots x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+p_3+\ldots+p_n}\)
A média ponderada é um caso de média aritmética, portanto, a média ponderada é conhecida também como média aritmética ponderada. Na média ponderada, são atribuídos pesos para os valores, e esse peso faz com que determinados valores tenham maior impacto na conta.
Para calcular a média ponderada, calculamos a soma do produto entre o número e o seu peso, dividindo-a pela soma dos pesos. A fórmula para isso é a seguinte:
\(x=\frac{x_1\cdot p_1+x_2\cdot p_2+x_3\cdot p_3+\ldots x_n\cdot p_n}{p_1+p_2+p_3+\ldots+p_n}\)
Exemplo:
Na tabela a seguir, temos o número de funcionários de uma empresa para cada cargo e seus respectivos salários:
|
Função |
Quantidade |
Salário |
|
Auxiliar istrativo |
5 |
R$ 1100 |
|
Atendente |
16 |
R$ 2000 |
|
Gerente |
3 |
R$ 5500 |
|
Diretor |
1 |
R$ 12.500 |
Podemos perceber que o salário que mais se repete é o de R$ 2000, logo, ele terá um peso maior na conta, que é o peso igual a 16. Nessa situação, se quisermos calcular a média salarial dessa empresa, temos que aplicar a fórmula da média ponderada.
Assim, calcularemos a média ponderada entre os salários: 1100, 2000, 5500, 12.500, com pesos 5, 16, 3 e 1 respectivamente:
\(x=\frac{5\cdot1100+16\cdot2000+3\cdot5500+1\cdot12.500}{5+16+3+1}\)
\(x=\frac{5500+32.000+16.500+12.500}{25}\)
\(x=\frac{66.500}{25}\)
Então a média salarial dessa empresa é:
\(x=2660\)
Podemos perceber, por exemplo, que se a empresa aumentar o salário dos atendentes em um valor, o impacto na média salarial será maior do que se ela aumentar o salário dos auxiliares istrativos no mesmo valor, pois valores com peso maior impactam mais na média.
Podemos perceber que as duas são consideradas médias aritméticas. Entretanto, na média aritmética ponderada, existem os pesos para cada um dos valores que desejamos calcular a média, já na média simples, não. A diferença, em alguns casos, está na forma que calculamos a média, pois questões envolvendo média ponderada podem ser também calculadas utilizando a fórmula da média simples. No entanto, isso seria mais trabalhoso, pois, na média ponderada, podemos usar a frequência do valor como um peso. A média aritmética simples é obtida pela soma de todos os valores dividida pela quantidade de valor.
Exemplo:
Calcule a média aritmética simples dos valores:
\(1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 1,\ 4,\ 4,\ 5,\ 8,\ 8,\ 5,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3\)
Utilizando média aritmética simples, temos que:
\(x=\frac{1+2+3+1+1+4+4+5+8+8+5+2+2+2+3}{15}\)
\(x=\frac{51}{15}\)
\(x=3,4\)
Agora, utilizando média ponderada, primeiro, analisaremos a frequência de cada um dos valores:
1 tem peso 3.
2 tem peso 4.
3 tem peso 2.
4 tem peso 2.
5 tem peso 2.
8 tem peso 2.
Então temos que:
\(x=\frac{1\cdot3+2\cdot4+3\cdot2+4\cdot2+5\cdot2+8\cdot2}{3+4+2+2+2+2}\)
\(x=\frac{3+8+6+8+10+16}{15}\)
\(x=\frac{51}{15}\)
\(x=3,4\)
Note que encontramos o mesmo resultado para ambas, porém, quando temos um número de repetição muito grande de um mesmo valor, a média aritmética ponderada se torna mais conveniente.
Leia também: Como calcular a média geométrica
Questão 1
A nota final de uma disciplina da faculdade é constituída por 4 critérios, sendo eles:
apresentação do trabalho, peso 2;
atividades feitas em casa, peso 3;
primeira avaliação discursiva, peso 2,5;
segunda avaliação discursiva, peso 2,5.
Se um estudante tirou na apresentação do trabalho 8 pontos; na atividade em sala, 10 pontos; na primeira avaliação discursiva, 4 pontos; e na segunda avaliação discursiva, 6 pontos, então a média obtida por esse estudante foi de:
A) 6,0
B) 7,1
C) 7,5
D) 8,2
E) 8,6
Resolução:
Alternativa B
Calculando a média:
\(x=\frac{2\cdot8+3\cdot10+2,5\cdot4+2,5\cdot6}{2+3+2,5+2,5}\)
\(x=\frac{16+30+10+15}{10}\)
\(x=\frac{71}{10}\)
\(x=7,1\)
Questão 2
A média ponderada dos números x, 5, 12, 16 — com pesos respectivamente iguais a 2, 3, 4, e 1 — é igual a 8,5. Então o valor de x é:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Resolução:
Alternativa B
Calculando a média:
\(\frac{2x+3\cdot5+4\cdot12+1\cdot16}{2+3+4+1}=8,5\)
\(\frac{2x+15+48+16}{10}=8,5\)
\(2x+15+48+16=8,5\cdot10\)
\(2x+79=85\)
\(2x=85-79\)
\(2x=6\)
\(x=\frac{6}{2}\)
\(x=3\)
Fonte
Montgomery, DC; Runger, GC. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2012 (5ª Edição).
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
Fonte: Brasil Escola - /matematica/media-ponderada.htm