No estudo dos números complexos deparamo-nos com a seguinte igualdade: i2 = – 1. A justificativa para essa igualdade está geralmente associada à resolução de equações do 2º grau com raízes quadradas negativas, o que é um erro. A origem da expressão i2 = – 1 aparece na definição de números complexos, outro assunto que também gera muita dúvida. Vamos compreender o motivo de tal igualdade e como ela surge. Primeiro, faremos algumas definições. 1. Um par ordenado de números reais (x, y) é chamado de número complexo. 2. Os números complexos (x1, y1) e (x2, y2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 e y1 = y2. 3. A adição e a multiplicação de números complexos são definidas por: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2) (x1, y1)*(x2, y2) = (x1*x2 – y1*y2 , x1*y2 + y1*x2) Exemplo 1. Considere z1 = (3, 4) e z2 = (2, 5), calcule z1 + z2 e z1*z2. Solução: z1 + z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9) z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23) Utilizando a terceira definição fica fácil mostrar que: (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0) (x1 , 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0) Essas igualdades mostram que no que diz respeito às operações de adição e multiplicação, os números complexos (x, y) se comportam como números reais. Nesse contexto, podemos estabelecer a seguinte relação: (x, 0) = x. Usando essa relação e o símbolo i para representar o número complexo (0, 1), podemos escrever qualquer número complexo (x, y) da seguinte forma: (x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → que é a chamada de forma normal de um número complexo. Assim, o número complexo (3, 4) na forma normal fica 3 + 4i. Exemplo 2. Escreva os seguintes números complexos na forma normal. a) (5, – 3) = 5 – 3i b) (– 7, 11) = – 7 + 11i c) (2, 0) = 2 + 0i = 2 d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i Agora, observe que chamamos de i o número complexo (0, 1). Vejamos o que ocorre ao fazer i2. Sabemos que i = (0, 1) e que i2 = i*i. Segue que: i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) Utilizando a definição 3, teremos: i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) Como vimos anteriormente, todo número complexo da forma (x, 0) = x. Assim, i2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0) = – 1. Chegamos à famosa igualdade i2 = – 1. 655k3r
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
Equipe Brasil Escola
Fonte: Brasil Escola - /matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm