Polígonos 4b685s

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados. 3w4xd

Veja também: Construção de polígonos circunscritos

Elementos de um polígono 4q6xt

Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:

Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.

Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.

Nomenclatura de um polígono 5i3o6t

Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.

Número de lados (n)	Nomenclatura
3	Triângulo
4	Quadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octógono
9	Eneágono
10	Decágono
11	Undecágono
12	Dodecágono
15	Pentadecágono
20	Icoságono

Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:

Número de lados + gono

Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.

Exemplo 6p43y

Determine o nome do polígono a seguir:

Classificação dos polígonos 4l6r37

Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.

Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.

Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.

Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições

Soma dos ângulos internos de um polígono 4da69

Seja a_i um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por S_i.

Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:

S_i = (n - 2) · 180°

Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:

a_i = S_i
       n

Exemplo 1 6g1j73

Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.

Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:

S_i = (n - 2) · 180°

S_i = (20 - 2) · 180°

S_i = 18 · 180°

S_i = 3240°

Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:

a_i = 3240°
    20

a_i = 162°

Exemplo 2 554533

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.

Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:

720° = (n - 2) · 180°

720° = 180n – 360°

180n = 720° + 360°

180n = 1080°

n = 1080°
      180°

n = 6 lados

Assim, o polígono procurado é o hexágono.

Soma dos ângulos externos de um polígono 4w1yf

A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.

S_e = 360°

a_e = S_e
         n

a_e = 360°
      n

Diagonais dos polígonos 5z6q5n

Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:

d = n · (n - 3)
     2

Exemplo 6p43y

Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.

Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:

d = 5 · (5 - 3)
      2

d = 5 · 2
      2

d = 5

Área e perímetro dos polígonos 3u4b26

O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.

A_Δ = base · altura
        2

A_quadrado = base · altura

Exemplo 6p43y

Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.

Solução:

Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:

Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:

A_hexágono = 6 · A_Δ

A_hexágono = 6 · l² · √3
                         4

A_hexágono = 3 · l² · √3
                         2

A_hexágono = 3 · l²·√3
                          2

Leia também: Área do triângulo equilátero

Exercícios resolvidos sobre polígonos 1m4s18

Questão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina?

a) 1800°

b) 1620°

c) 1440°

d) 1260°

e) 1080°

Solução

Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono.

Da imagem podemos ver que:

a_i + a_e = 180° (I)

Do enunciado temos que:

a_i = 3,5 · a_e (II)
 

Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que:

3,5 · a_e + a_e = 180°

4,5 · a_e = 180°

a_e = 180°
       4,5

a_e = 40°

No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim:

a_e = 360°
      n

40° = 360°
        n

40n = 360°

n = 360°
      40°

n = 9

Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é:

S_i = (n - 2) · 180°

S_i = (9 - 2) · 180°

S_i = 7 · 180°

S_i = 1260°