O que é expressão algébrica?

As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.

Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.

Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:

1) 4x + 2y

2) 16z

3) 22xa + y – 164x²y²

Valor numérico das expressões algébricas

Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.

4x² + 5y

Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:

4·2² + 5·3

Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:

4·2² + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31

Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:

2xy + xx + yy = 2xy + x² + y²

Seu valor numérico seria:

2xy + x² + y² = 2·2·3 + 2² + 3³ = 12 + 4 + 9 = 25

Monômios

Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:

1) 2x

2) 3x²y⁴

3) x

4) xy

5) 16

Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.

Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos.

Adição e subtração de monômios

Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo:

2xy²k⁷ + 22xy²k⁷ – 20xy²k⁷ = 4xy²k⁷

Multiplicação e divisão de monômios

A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:

4x³k²yz·15x²k⁴y = 60x^{3 + 2}k^{2 + 4}y^{1 + 1}z = 60x⁵k⁶y²z

A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.

Polinômios

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.

Veja alguns exemplos de polinômios:

1) 2x + 2x²

2) 2x + 3xy + 3y

3) 2ab + 16 – 4ab³

Adição e subtração de polinômios

É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo:

(12x² + 21y² – 7k) + (– 15x² + 25y²) =

12x² + 21y² – 7k – 15x² + 25y² =

12x² – 15x² + 21y² + 25y² – 7k =

– 3x² + 46y² – 7k

Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados.

Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:

(x² + a²)(y² + a²) = x²y² + x²a² + a²y² + a⁴

Divisão de polinômios

É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:

(x² + 18x + 81):(x + 9) =

x² + 18x + 81 | x + 9
– x² – 9x          x + 9 
9x + 81  
– 9x – 81     
      0

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática